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Método Gráfico

El método gráfico es un modo de resolución de problemas de programación lineal, pero se limita a 2 o como máximo 3 variables. Sin embargo, nos permite entender muy bien el algoritmo que se utiliza al momento de resolver un PL, debido a que se busca dentro de los puntos de solución posible la solución óptima dentro de la región factible.

Se suele considerar como una interpretación gráfica del método simplex, pero es mucho más intuitivo resolver el PL gráficamente que iterando en la tabla simplex. Es muy raro que en la vida real surjan problemas de solamente dos o tres variables de decisión; pero al graficar las posibles situaciones tales como la solución óptima única, solución heurística; varias soluciones alternativas, posible no existencia de solución y la no acotación; se consolida como un gran apoyo visual a la hora de entender el algoritmo simplex (bastante más complicado).

Para resolver un PL mediante el método gráfico se siguen los siguientes pasos:

  1. Escribir la F.O. y las restricciones. Por ejemplo:

F.O: Max Z= 900X1+600X2

S.A:       2X1+X2 ≤ 4000

               X1+2X2 ≤ 5000

               X1+X2 ≤ 3500

               X1,X2 ≥ 0

  1. Construir una gráfica o plano cartesiano (tantos ejes como variables, máximo 3). En este ejemplo, como son dos variables, se grafican los ejes x e y.
  2. Trazar cada una de las restricciones mediante líneas o flechas. (en el gráfico siguiente).
  3. Sombrear el área de solución factible.
  4. Circundar los puntos de solución óptima posible (intersecciones entre líneas).

En este caso están marcados con las letras de la A a la I.

  1. Evaluar los puntos de solución óptima.

NOTA:

En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.

En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.

 

Finalmente, podemos decir que la solución óptima se encuentra en el punto (1000;2000), con un resultado para la F.O. de 2’100’000.

Ahora bien, se puede calcular más rápidamente el punto óptimo mediante la pendiente de la F.O.

A TRAVÉS DE LA PENDIENTE DE LA F.O.

  1. Se traza la pendiente de la F.O.

900X1+600X2 = Z (asignar valores alternativos a Z para poder hallar la pendiente)

900×1+600×2 = 3600000                               900X1+600X2 = 1800000

X1=0;X2=6000                                                  x1=0;X2=3000

X2=0;X1=4000                                                  x2=0;X1=2000

 

  1. Si la pendiente está dentro de la gráfica, se desplaza hacia fuera, de lo contrario se desplaza hacia dentro. El último punto que toque es el óptimo.

Igualmente, vemos que las gráficas de la pendiente tocan en último lugar a la región factible en el punto (1000;2000) como habíamos obtenido anteriormente.

Programación Lineal

Dentro del ámbito de la investigación operativa existen técnicas de modelado de problemas. La más básica de ellas es la programación lineal; la cual consiste en el modelado matemático generado a partir de un problema físico que busca optimizar un objetivo, para lo que han de existir recursos limitados o escasos (llámese capital, mano de obra, tiempo, materiales o insumos, etc.)

Se empezó a desarrollar en el siglo XX, basándose en métodos de teoría de números y técnicas de cálculo integral y geometría analítica. Matemáticos como Von Neumann, Leonid Kantorovich y George Dantzig fueron los que desarrollaron desde el planteamiento hasta los métodos de resolución de modelos lineales.